我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第一节]
目录：
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第一节]
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第二节]
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第三节]
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[小结]
这是一个系列栏目，我们将对一个初步问题逐步剖析，给出解释并不断引出新的问题。
准备知识：
Q：什么是开宇宙？什么是闭宇宙？
A：选取球坐标：\({t,r,\theta,\phi}\)。给定一个FRW度规：
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{a[t]^2}{1-r^2 k} & 0 & 0 \\
0 & 0 & r^2 a[t]^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & r^2 a[t]^2 \sin{\theta}^2
\end{array}
\right)
\end{equation}
如果\(k=0\)，那么这个度规是一个平直的欧式度规，也就是平直的宇宙；如果\(k=-1\)，那么这是一个双曲面的度规，代表开放的宇宙；如果\(k=+1\)，这是一个球面度规，这代表闭合的宇宙。这里面之所以\(k\)只能取孤立的值，是因为我们故意通过调节\(a[t]\)把它scale过了。
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？
[IMPORTANT:要么不读下面的，要么全部读完。]
下面我们使用连续流体模型来计算宇宙的演化。在这种简化的模型下，宇宙的演化是由宇宙的内含物质的多少和属性以及设定的度规，按照Einstein方程( \(G_{ab}=8\pi T_{ab}\) )来确定的。
使用我们一开始给出的坐标和度规。为了讨论宇宙是否可以有一开始的开（或者闭）演化为闭（或者开），这里先假定代表宇宙的开闭的\(k\)与时间有关，记为\(k[t]\)。也就是说，度规为：
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{a[t]^2}{1-r^2 k[t]} & 0 & 0 \\
0 & 0 & r^2 a[t]^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & r^2 a[t]^2 \sin{\theta}^2
\end{array}
\right)
\end{equation}
计算Einstein张量, (矩阵形式太宽，显示不全，所幸最后一列并不重要。完整的式子可以从本文结尾所附文档中查看)
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{llll}
\frac{3 r^2 k[t]^2+3 k[t] \left(-1+r^2 a'[t]^2\right)-a'[t] \left(3 a'[t]+r^2 a[t] k'[t]\right)}{a[t]^2 \left(-1+r^2 k[t]\right)}& \frac{rk'[t]}{1-r^2 k[t]} & 0& 0 \\
\frac{r k'[t]}{1-r^2 k[t]} & \frac{k[t]+a'[t]^2+2 a[t] a”[t]}{-1+r^2 k[t]}& 0& 0 \\
0&0&-\frac{1}{4\left(-1+r^2 k[t]\right)^2}r^2 \left(4 r^4 k[t]^3+4 a'[t]^2+6 r^2 a[t] a'[t] k'[t]+4 r^2 k[t]^2 \left(-2+r^2 a'[t]^2+2 r^2 a[t] a”[t]\right)+a[t]
\left(3 r^4 a[t] k'[t]^2+8 a”[t]+2 r^2 a[t] k”[t]\right)-2 k[t] \left(-2+4 r^2 a'[t]^2+3 r^4 a[t] a'[t] k'[t]+8 r^2 a[t] a”[t]+r^4 a[t]^2 k”[t]\right)\right) &0 \\
0 &0 &0 &-\frac{1}{4
\left(-1+r^2 k[t]\right)^2}r^2 \text{Sin}[\theta ]^2 \left(4 r^4 k[t]^3+4 a'[t]^2+6 r^2 a[t] a'[t] k'[t]+4 r^2 k[t]^2 \left(-2+r^2 a'[t]^2+2 r^2
a[t] a”[t]\right)+a[t] \left(3 r^4 a[t] k'[t]^2+8 a”[t]+2 r^2 a[t] k”[t]\right)-2 k[t] \left(-2+4 r^2 a'[t]^2+3 r^4 a[t] a'[t] k'[t]+8 r^2 a[t]
a”[t]+r^4 a[t]^2 k”[t]\right)\right)
\end{array}
\right)
\end{equation}
一般而言，我们的使用各项同性的理想流体模型。对应的物质的能动张量\(T_{ab}\)没有非对角项。也就是说，利用Einstein方程，我们得到，\(G_{01}=0\)。即
\begin{equation}
\frac{rk'[t]}{1-r^2 k[t]}=0.
\end{equation}
如此我们便得到代表宇宙的开闭的\(k\)必定是一个与时间无关的量。从而证明在理想流体各项通过性FRW模型中，宇宙不可能从闭合演化为开放或者相反。
其他模型？
如果想要使得\(k\)含时，必须使得能动张量存在两个非对角项，即\(T_{01}\)和\(T_{10}\)。也就是说要使用非理想的流体模型。然后通过非对角项增加一个方程，用了解决增加的含时未知量\(k[t]\)。这样方程依然很可能可解。
下面要解决的问题是，如果引入非理想流体模型，那么是否是要偏离理想流体模型多远呢？因为我们的宇宙中的星体相隔比较远，产生shear的可能性比较小。所以偏离理想流体模型太远的模型是不可靠的。
[2011-07-29][IMPORTANT]
上面提到使用非理想流体模型。这个说法不太对。因为非理想流体最多在空间分量上引入非对角。
从上面的计算可以看到，如果要求\(k\)含时，那么要求\(T_{01}\)不为零。意思是说，要求在\(r\)方向存在能流密度。这跟是不是理想流体没什么关系。物理上讲，这是显然要这样的，因为比如我们想要宇宙从闭宇宙演化为开宇宙，而我们用的又是各向同性的度规，那么可以通过减少空间各点的能量密度来实现。但是同时，物理上讲，这个又很奇怪。因为我们这里的能动张量是一个共动坐标上的量，所以如果存在这样的能流项，意味着空间每一点的共动的能量密度在流失或者流入，也就是意味着能量的消失或创生，这一点非常非常难以令人接受。
所以上面提到的其他模型，一般也是不行的。
需要提到的一点是，这个方法来证明有两个问题：
a. 我们得到度规的时候，是把\(\frac{\mathrm d^2 r}{K[t](1-kr^2)}\)分母上的含时间的项提出来，这里\(k\)之所以只能够取1,0,-1是因为这分别代表着球面度规，平直度规和双曲面度规。所以上面直接取\(k[t]\)含时间的方法不太合适。
b. 这样证明多此一举。正如上面所说，如果一开始我们选定一个度规，那么含时间的项只是\(K[t]\)。不管这一项如何变，都不会导致几何性质从球面度规变化为双曲面度规或其他的。
附录：
1. 完整的计算过程：OpenOrClosedUniverse.pdf
Mathematica文件[package+calculation]
Acknowledgement:
I am grateful to XU Xiaodong and LIU Yunqi for they have pointed errors in my original post and for their helpful discussions.
最近评论