我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第二节]

目录：
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第一节]
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第二节]
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第三节]
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[小结]

我们的系列文章的第一篇我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第一节]中用了一种不恰当的方法来讨论这个问题。但是我们给出了一个比较好的物理解释。
现在，我们将重新思考这个问题，并在文章结束提出下一期的问题。

梁灿彬的《微分几何入门与广义相对论》一书中，讨论了如何找到可以描述所有满足宇宙学原理的可能的度规的方法。通过讨论，得到了三种度规可以完整的描述所有的最大对称性的静态度规。度规的空间部分列出如下：

\begin{eqnarray}
\mathrm d l^2&=& K^{-1}[\mathrm d^2 \arcsin r + r^2 (\mathrm d\theta^2+\sin^2\theta\mathrm d^2\phi)], K>0 \\
\mathrm d l^2&=& \mathrm d r ^2 + r^2 (\mathrm d\theta^2+\sin^2\theta\mathrm d^2\phi), K=0 \\
\mathrm d l^2&=&- K^{-1}[\mathrm d ^2\mathrm {sh}^{-1} r + r^2 (\mathrm d\theta^2+\sin^2\theta\mathrm d^2\phi)], K<0
\end{eqnarray}

在这三种情况里面，我们总可以做共形变化，把这些度规变成静态的球面、欧式或者双曲面的度规。写成下面的形式

\begin{equation}
\mathrm ds^2=-\mathrm dt^2+a^2(t)[\frac{\mathrm dr^2}{1-kr^2}+r^2(\mathrm d\theta^2+\sin\theta\mathrm d\phi^2)],
\end{equation}
其中，\(k\)只取-1,0,1.因为我们故意通过通过变化scale factor\(a(t)\)来代替上面的三个式子中的\(K(t)\)。

这样一来，宇宙的时空曲率的信息都放在了scale factor中了，而\(k\)决定了宇宙时空几何的类型，即球面，平直还是双曲。如果我们选定一种作为宇宙开始的时候的度规，比如这里我们选取球面度规，那么随着宇宙的演化，宇宙的曲率将从无穷大一直减小到0。我们不会再去讨论这个曲率从零变为负值的情况。因为时空曲率变为零，意味着scale factor无穷大，也就是说，意味着是无限远的未来。由于能量密度不能为负，所以不可能从一种类型的时空几何变为另一种类型。

下面我给出详细的计算。思路是，看一下是不是有可能从一种接近另一种然后到达最后一种情况。由于一旦度规写出来，其实就确定了一种时空几何，所以只能看其渐进行为，比如是从球面度规渐进平直。实际上不用计算也能够明白，渐进行为是可以的，这意味着无穷久之后。

假定一开始的宇宙的度规如下：
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{A[t]}{1-k r^2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & r^2 A[t] & 0 \\
0 & 0 & 0 & r^2 A[t] \text{Sin}[\theta ]^2
\end{array}
\right)
\end{equation}

当然，其中的\(A[t]\)为正。计算得到Einstein Tensor为
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cccc}
\frac{3 \left(4 k A[t]+A'[t]^2\right)}{4 A[t]^2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{A'[t]^2-4 A[t] \left(k+A”[t]\right)}{4 \left(-1+k r^2\right) A[t]} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{r^2 \left(A'[t]^2-4 A[t] \left(k+A”[t]\right)\right)}{4 A[t]} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{r^2 \text{Sin}[\theta ]^2 \left(A'[t]^2-4 A[t] \left(k+A”[t]\right)\right)}{4 A[t]}
\end{array}
\right)
\end{equation}

通过Einstein Equation，即 \(G_{ab}=8\pi G T_{ab}\)得到两个方程，就是修正的Friedmann方程。
\begin{eqnarray}
\frac{3 \left(4 k A[t]+A'[t]^2\right)}{4 A[t]^2}&=&-8 G \pi \rho [t] \\
\frac{A'[t]^2-4 A[t] \left(k+A”[t]\right)}{4 A[t]}&=&8 G \pi A[t] p[t]
\end{eqnarray}

重新整理得到，
\begin{eqnarray}
\frac{3 \left(-32 G \pi A[t]^2 p[t]+2 A'[t]^2-4 A[t] A”[t]\right)}{4 A[t]^2}&=&-8 G \pi \rho [t] \\
(32 G \pi \rho [t]+16 G \pi (3 p[t]+\rho [t])) A'[t]&=&-32 G \pi A[t] \rho ‘[t] .
\end{eqnarray}

或者，更漂亮一点，
\begin{eqnarray}
6A”[t]-3\frac{A'[t]^2}{A[t]}-16\pi G A[t](\rho[t]+3p[t])&=&0 \\
\frac{3A'[t]}{2A[t]}[\rho[t]+p[t]]+\rho ‘[t]&=&0
\end{eqnarray}

到现在位置，我们就可以发现这里\(A[t]\)具有scale factor（或者说其平方）的作用相同。当这个量可以从0变到无穷大，却不可能变符号。因为从上面的方程组的第一个式子可见（需稍许分析讨论），变化符号，意味着能量密度为负。显然不能如此。

我们可以进一步计算，假定物态方程\(w=\frac{p}{\rho}\)为不含时的量，这样可以得到下面的结果。
\(A[t]>0\)时，
\begin{equation}
\rho A^{3(1+w)/2}=\text{Const}
\end{equation}
\(A[t]<0\)时，
\begin{equation}
\rho (-A)^{3(1+w)/2}=\text{Const}
\end{equation}
从这里也可以看出\(A[t]\)即\(a^2[t]\).（事实上一开始定义如此。）

剩下的步骤与梁灿斌老师的书上的步骤相同，解出\(A[t]\)。然后稍加讨论，可以得到，如果一开始的时空几何类型是确定的，那么就不能越过平直变为第三种。但是如果一开始平直，那么可以从平直变为另外两种。

附录：
Mathematica文件：OpenOrClose[2]MathematicaFile.
其中Great.m是package文件，如果想要重新计算，请先运行此package。EinsteinTensor.nb为Einstein张量的计算。Calculation.nb为其余式子的计算过程。

下期问题：

真的不能够从？如果在Einstein方程中引入新的量呢？比如我们引入神奇的\(\Lambda\)或者暗能量？