理想流体引力体系的熵最大原理 ｜ arxiv:1109.2804

A General Maximum Entropy Principle for Self-gravitating Perfect Fluid
Author: Sijie Gao
Date:September 14, 2011
arXiv:1109.2804
Category: GR-QC

这是一篇读起来非常简单的文章，作者把推导过程写的很详细，而且只要学过统计物理，文章所讨论的内容和使用的方法就很容易理解。

这篇文章使用熵作为作用量，导出了引力体系的熵最大原理。文章的导出过程中，使用了一些技巧，例如求变分极值很自然的使用Euler-Lagrange方程，不好用的constrain使用Lagrange multiplier方法把constrain引入进来等等。使用这个最大熵原理可以导出TOV方程。

原来的SWZ的文章的主要思路：

对于能动张量为 \(T_{ab}=\rho u_a u_b + 1/3 \rho (g_{ab}+u_a U_b)\)的理想流体（物态方程\(p=1/3\rho\)），其能量密度和熵密度分别为：
\begin{eqnarray}
\rho &=& b T^4 \\
s &=& \frac 4 3 bT^3
\end{eqnarray}
其中\(b\)为Wein位移定律中的常数。如此，熵密度可以表示成能量密度的函数: \(s=\alpha \rho^{3/4}\)。

对于球对称的物体，周围时空的线元可以写成
\begin{equation}
\mathrm d s^2 =g_{tt}(r)\mathrm dt^2 + (1-\frac{2m(r)}{r})^{-1}\mathrm dr^2 + r^2\mathrm d \Omega^2 ,
\end{equation}
这样,首先想到使用Einstein方程可以得到一个constrain，\(\rho=\frac{2m'(r)}{4\pi r^2}\)。其中prime代表对\(r\)求导数。\(m(r)\)称为mass function。

有了度规和熵密度，我们自然的可以得到熵的表达式：
\begin{equation}
S=(4\pi)^{1/4}\alpha \int_0^R (\frac {m'(r)}{r^2})^{3/4} (1-\frac{2m(r)}{r})^{-1/2} r^2 \mathrm d r
\end{equation}
其中积分上限\(R\)需要大于或者等于天体的半径。

引入两个很自然的边界条件：\(\delta m(0)=\delta m(R)=0\)。并且使用经典的Euler-Lagrange方程，就可以求出熵最大时，mass function所需要满足的方程。或者使用由Einstein方程所到导出的constrain中，就可以得到另一种表述。

注意，这篇论文目前的v1版本中，式13是错误的，不过这个属于作者的笔误，最终的结果是对的。

扩展的熵最大原理的主要思路如下：

依然继承上面的SWZ的熵最大原理，重新从热力学第一定律:\(\mathrm dE=T\mathrm dS-p\mathrm dV+\mu \mathrm dN\)出发，选择变量的参数 \(\rho\)和n作为能量密度\(\rho\)和熵密度\(s\)的参数，得到熵的表达式：
\begin{equation}
S=4\pi \int_0^R s(r)(1-\frac{2m(r)}{r})^{-1/2} r^2 \mathrm d r
\end{equation}
其中\(s(r)\)为熵密度。

这样熵就写成了mass function \(m(r)\)和粒子数密度\(n(r)\)的表达式。但是mass function和粒子数密度并不是相互独立的，他们通过体系的总粒子数联系起来，而总粒子数可以认为是这个体系的一个不变量，那么可以使用Lagrange multiplier的方法，学过统计物理的都很熟悉了。最后得到Eular-Lagrange方程，可以用到一些特定的体系上去。文章举了从这个方程得到TOV方程的例子。