量子力学计算的一个小技巧

$$\newcommand{\ud}[1]{{#1^{\dagger}}}
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1\right|}
\newcommand{\ket}[1]{\left| #1\right\rangle}
\newcommand\Tr{\mathrm{Tr}}
\newcommand{\braket}[2]{\langle #1 \mid #2 \rangle} % Math Environment
\newcommand\d{\mathrm{d}}
\newcommand\I{\mathbb{I}}
$$

量子力学里面很多 e 指数函数，这类函数的一大特点就是导数会出现这个函数本身，所以有时候可以利用这个特点来简化计算。

例如我们有一个初始状态，态矢在位置基矢下的表达式，
$$ \phi = C e^{i C _ 1 x} e^{C _ 2 x^2} $$

当然，这里的三个常数可能是
$$ C = \frac{1}{(\pi \eta^2)^{1/4}} $$
$$ C_1 = p _ 0/\hbar $$
$$ C_2 = -\frac{1}{2\eta^2} $$
但是对于我们的计算来说，这些常数是多少，并无大的影响，所以就不再代入具体的形式了。

而我们要计算的是动量在位置基矢下面的不确定值，计算过程中需要求解这个量：
$$\bra{\psi}\hat p^2 \ket{\psi}$$
而求解这个量的过程中，需要用到如下的计算

$$ \psi^ * \frac{\d}{\d x}\frac{\d}{\d x} \psi $$

一个比较简便的做法是定义如下的中间量
$$ G = \frac{\d}{\d x} \psi $$

至于为什么要这么定义，我们继续计算，就可以看到这样做的好处了。

先求解 G

$$ G = \psi (i C _ 1 + 2 C _ 2 x) $$

我们把这个结果代入要求解的式子中，

\begin{eqnarray}
\psi^ * \frac{\d}{\d x}\frac{\d}{\d x}\psi &=& \psi^* \frac{\d}{\d x} ( \psi (i C _ 1 + 2 C _ 2 x) ) \\
&=& \psi^ * \psi 2 C _ 2 + \psi^ * G (i C _ 1 + 2 C _ 2 x) \\
&=& \psi^ * \psi (i C _ 1 + 2 C _ 2 x)^2 + \psi^ * \psi 2C _ 2 \\
&=& \psi^ * \psi \left[(i C _ 1 + 2 C _ 2 x)^2 + 2C _ 2 \right]
\end{eqnarray}

而
$$\psi^ * \psi$$
这一项里面的带有虚数指数的部分变成了 1，所以最后的计算就会比较简单，不易出错。

如果大家有好做法，可以分享一下。