天体周围引力场和 Birkhoff 定理

在广相中，有一个很好的定理是说，真空中的球对称引力场一定是静态的。这就是 Birkhoff 定理。Birkhoff 定理不仅可以帮助我们获得引力场分布和引力波辐射的物理图像，还可以帮助我们简化很多计算。

Birkhoff 定理

Birkhoff 定理的证明用到了如下条件:

• 真空。实际上可以扩展到带有 \(\Lambda\) 的场方程。

不同的度规形式

但是这里有个地方我没有想明白，就是一个球对称的线元的普遍形式应该是:[¹][²]

\[\mathrm ds^2 = -\gamma(r,t)c^2 \mathrm dt^2 + \alpha(r,t) [ \mathrm dr^2 + r^2 ( \mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta \mathrm d\phi^2 ) ] – \beta(r,t)c \mathrm dr\mathrm dt \]

在刘辽的书中，他做了坐标变换，然后变成了一个更加漂亮的形式：

\[ \mathrm ds^2 = -b(r,t) c^2\mathrm dt^2 + a(r,t) \mathrm dr^2 + r^2 (\mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta \mathrm d\phi^2) \]

新的形式（下文称为形式二，第一个度规称为形式一）是一个正交的度规，更简单更漂亮。但是有一个问题，虽然这两个度规在本质上是等价的，但是在用来求解问题的时候，却会出现不同的结果，这是因为不同的坐标限制了不同的观者族，而不同的观者对于某些观测会得到不同的结论。[³]

比如说，我们取上面两种形式的度规都是对角化的形式，也就是说扔掉了 \(\beta(r,t)\)。这这样一个简单情况下，\(\phi\) 坐标的 scale 两种形式有很大的不同，一个是包含 \(r\) 和 \(t\) 的一个函数 \(\alpha(r,t)\)，另一种形式却没有。这一点会对后面各个几何量的求解带来很大的不同，因为涉及到了导数。

计算证明

基于这一点考虑，我算了一种简单的情况，就是

\[ \mathrm ds^2 = -b(r,t) c^2\mathrm dt^2 + a(r,t) \mathrm dr^2 + f(t) r^2 (\mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta \mathrm d\phi^2) \]

为了方便计算，对一些量进行了重定义，最后度规写为如下形式：

\[
\left(
\begin{array}{cccc}
-e^{2 \nu [r]} a[t]^2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{2 \lambda [r]} a[t]^2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & r^2 a[t]^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & r^2 a[t]^2 \text{Sin}[\text{theta}]^2
\end{array}
\right)
\]

放在带 \(\Lambda\) 的场方程中，得到的结果如下：

需要满足一下四个方程

\[\frac{3 a'[t]^2}{a[t]^2}+\frac{e^{-2 \lambda [r]+2 \nu [r]} \left(-1+e^{2 \lambda [r]}+2 r \lambda ‘[r]\right)}{r^2}==e^{2 \nu [r]} \Lambda a[t]^2\]

\[ e^{2 \lambda } r \Lambda a[t]^3+\frac{e^{2 \lambda [r]-2 \nu [r]} r a'[t]^2}{a[t]}+\frac{a[t] \left(1-e^{2 \lambda [r]}+2 r \nu ‘[r]\right)}{r}==2 e^{2 \lambda [r]-2 \nu [r]} r a”[t] \]

\[ r \left(r \Lambda a[t]^2+\frac{e^{-2 \nu [r]} r a'[t]^2}{a[t]^2}-\frac{2 e^{-2 \nu [r]} r a”[t]}{a[t]}+e^{-2 \lambda [r]} \left(\nu ‘[r]+r \nu ‘[r]^2-\lambda ‘[r] \left(1+r \nu ‘[r]\right)+r \nu ”[r]\right)\right)==0 \]

\[ \frac{1}{a[t]}e^{-2 (\lambda [r]+\nu [r])} r \text{Sin}[\text{theta}] \left(e^{2 (\lambda [r]+\nu [r])} r \Lambda a[t]^4+e^{2 \lambda [r]} r a'[t]^2-2 e^{2 \lambda [r]} r a[t] a”[t]+e^{2 \nu [r]} a[t]^2 \left(\nu ‘[r]+r \nu ‘[r]^2-\lambda ‘[r] \left(1+r \nu ‘[r]\right)+r \nu ”[r]\right)\right)==0 \]

上面的求导是针对各自自变量的求导。

自然其中第三和第四是在我们这里等价的。

经过简化，这个度规的需要满足如下要求：

\[ \frac{1}{r^2} (1-e^{2\lambda}) + \frac{1}{r} (\nu’ + \lambda’) +\lambda’\nu’ -\nu’^2 – \nu” =0 \]
外加上面的第一个方程。

从这样的式子里面，是无法得到 Birkhoff 定理的。因为上面的 \(\lambda\) 和 \(\nu\) 是 \(r\) 的函数，无法分离成 \(r\) 多项式形式，从而无法给出含时量的限制。

更多

其实这个理解也没有问题，因为我所使用的度规和形式二是不同的观者所使用的坐标。其他的理解在后续文章的实例中提到。我主要关心一个问题，如果我们把银河系看做浸泡在一个能动张量为 \(T_{\mu\nu}\) 的宇宙中，那么其引力场分布的解析解如何呢？