正文

序曲

2030年，当我们重新启动 SETI[¹] 之后，突然接收到来自编号为 Gliese 581 d[²] 的地外行星的回复电波暨邀请函。该行星的居民十分热情的邀请我们去做客。

可是可是，Gliese 581 d 在哪里呢？Gliese 581 d 是一颗绕 Gliese 581 公转的行星，落在在天秤座内。Gliese 581 距离地球大约 20.3 ly，在现在看，对于载人航行来说，那还是相当的远。

现在大家急切的想要将地球人送到 Gliese 581 d 去，作为星际移民局[³]的推进技术专家的你，不得不承担起这个责任。

首先想到的是，我们 2007 年发射的通信电波，原则上来说，如果当地居民接收到并立刻回复，需要大约四十一年的时间，可是为什么我们的电波到达一年之后，他们的回复就抵达地球了呢？这说明他们有种技术可以将电波以光所不及的速度送到目的地。那么如果我们发射一艘普通的飞船，几百年才到达，他们早等不及了。因此，我们需要使用一种独特的快速推进技术。

最终，你不得不把 warp drive 拿出来了。

曲率推进的历史

（这一小节的内容是参考 wikipedia 编写的，可以点击相应的 footnotes 来查看更加详细的解释。）

Warp drive 作为一个科幻概念，在 Star Trek 中被发扬光大。相比 Heart of Gold 的 Infinite Improbability Drive[⁴] 而言，warp drive 是一种更加切合实际的设想。

什么是 warp drive

Warp drive，其实就是通过操控空间来从一个地方移动到另一个地方的推进技术。

如果把空间看作是橡皮膜，那么 warp drive 实际上就是在通过压缩前方的空间，拉伸后方的空间来「移动」的。就是说，我们想从 A 点出发到达 B 点，实际上我们只需要把飞船前方的空间压缩一下，全部拿到飞船的后方来，不就可以到达 B 点了么。有点像是，「我不过去，山会过来」。如果我们仅仅操控空间，而不影响时间，那么就太好了，我们可以从 A 以任意速度到达 B 地点，但是总会花费一点时间，因为我们把空间这块橡皮膜压缩起来或者伸展开去总需要一定的时间吧。

这种推进有种很大的优势，那就是飞船里面的人不会察觉到飞船移动状况的改变，因为局域的来看，我们实际上根本没动嘛。

推进器的重要参数 —— warp factor

在 Star Trek 中，速度一直是使用 warp N 来表示的，warp 1 表示一倍光速，其他的按照
\[v=w^3c\]
来计算，其中 \(v\) 是闵氏时空中的测量速度，\(c\) 是光速，\(w\) 便是 warp factor（扭曲因子，wikipedia 上翻译为「曲率层级」，我觉得不够直观）。一开始的时候，开到 warp 5 就已经不得了了呢。

后来的剧集中，Okuda 更改了 warp factor 的定义，新的定义为 warp factor 为 1-9 时
\[v=w^{10/3}c\]
而超过 9 就直接手绘了一条趋向无穷的曲线。到了 1995 年，有人给出了一个解析公式。[⁵] 下图是 wikipedia 中的新旧 warp factor 的对照表以及其能量需求等等量直接的关系。

能源

在 Star Trek 中，核心的能源是正反物质湮灭提供的，也就是电视剧中的 warp core. 在理想的情况下，这算是最大程度的利用了物质所含能量。所以如果需要用到常规物质的作为能源的话，我们有希望能像电视剧中一样将物质按照 \(E=m c^2\) 转换成可利用的能量。

Sci-Fi -> Science?

看起来 warp drive 相当不错，可以达到很多倍的光速，而且时间膨胀效应很小，所以 warp drive 就是我们理想的载人航行器！

可是如何实现这类曲率引擎呢？

在 1995 年，S. V. Krasnikov 提出一种可以用来连接空间两点的便捷「管道」[⁶]，这个「管道」可以使得你从地球出发到达却立刻即到达 20.3ly 那么遥远的 Gliese 581. 问题在于，这个管道是需要修建的，第一次修建的时候，还是需要一个亚光速飞船……

因此我们暂且排除 Krasnikov 这种方法。Krasnikov 这种方法类似于 hyper jump，广义上来讲，可以跟 warp drive 归于一类，但是因为第一次使用需要修建这一点，所以不能满足大家的要求。

那么你这位推进专家难道就无计可施了么？那必然不是，因为我们有一位 Alcubierre 大侠。Miguel Alcubierre 提出了一种神秘的度规，这种度规恰好可以帮我们实现曲率推进，该度规就被称为 Alcubierre metric. [⁷]

Alcubierre 度规是像是一个可以将飞船包裹起来的时空泡泡，泡泡内部还是正常的闵氏时空，然而这个时空泡泡却有一个时空剧烈变动的外壳。

Einstein 的场方程的两端可以分别是物质和时空
\[G_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}\]
现在你要做的只是设计一个合理的度规，然后按照上面的方程解出所需要的物质的分布和特性。

Alcubierre 度规

Alcubierre 度规可以从 ADM 形式中猜出来，但是这个 Alcubierre 前辈已经写出来了，所以你只需要把前辈的那个抄过来，
\[\mathrm ds^2 = -\mathrm dt^2+(\mathrm dx – v_s f(r_s)\mathrm dt)^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2\]
其中，\[v_s=\mathrm dx_s/\mathrm dt\]
\[r_s=((x -x_s)^2 + y^2 + z^2)^{1/2}\]
\[f(r_s)=\frac{\tanh(\sigma(r_s + R))-\tanh(\sigma(r_s – R))}{2\tanh(\sigma R)}\]
并且 \(\sigma>0\)，\(R>0\)。

怎么看这个度规呢，其实我们可以把飞船看做一个点，放在 \(x_s\)并让飞船的轨迹沿着 x 轴，然后 \(r_s\) 可以看做是离开飞船的距离。然后我们看一下 \(f(r_s)\) 这个函数的渐进行为。这个函数里面的 \(\sigma\) 这个参数是用来调节 \(\tanh\) 函数的陡峭程度的，同时也可以调节 \(f(r_s)\) 这个函数的陡峭程度。下面我们看一个极端情况
\[\lim_{\sigma\rightarrow\infty} f(r_s)=\begin{cases} 1 & r_s\in [-R, R]\\0 & \text{otherwise.} \end{cases}\]
也就是说，这是一个帽子函数。\(\sigma\)越大，这个帽子就越陡，而且中心越平坦。
实际上这保证了离飞船比较远的地方依然是闵氏时空。

好！有了 metric ，你就可以依据这个 metric 来计算所需要的物质了，然后就是如何得到这种物质并且给出特定的分布。在这之前，你需要检验一下这个度规是否真的满足我们的需求，对不对？

首先，检查一下飞船远处的时空状况。此时 \(r_s\) 很大，度规退化成
\[\mathrm ds^2 = -\mathrm dt^2+\mathrm dx ^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2\]
恰是闵氏度规。

这样形象的来看，飞船就是被包裹在一个「时空蛋壳」里了。那么这个飞船可以行进多快呢？答案是想多快就多快。

因为飞船的移动完全依赖于 \(v_s\) 的大小，我们通过调节这个参数的大小，就可以调节飞船在无穷远的人看来的「移动速度」。而且，Alcubierre 证明[⁸]，这种移动没有时间上的膨胀效应，也就是说，在无穷远的人看来，如果飞船花了一天从 A 地点到达了 B 地点，那么飞船上的人也是同样这么认为的。完美。

有何问题

但是，人生最厉害的就是这个「但是」，此推进技术有很多的问题。暂且不管它对一些不是那么确凿的物理定律的违背，在实践上，有个很大的问题是：

该引擎需要消耗难以想象的能量。

最初别人估算的是即使消耗掉了整个可观测宇宙，我们都没法移动一个足够大的距离。但是后来的一些估算显示，如果要推动一艘 \(1000\mathrm m^3\) 的飞船会消耗掉整个木星。

另外，如果有 QFT 的限制，这种驱动是有个速度上限的。诸如此类。

关于这些问题，以及关于 Alcubierre drive 更加详细的理解，敬请期待第二期：谁动了我的飞船——『膨胀和收缩』。

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