LCDM模型

之前写了修改引力理论简介，其中省略了很多基础知识，因为假设大家都对宇宙学初步的了解。这篇文章目的是补充一下相关的背景知识。

LCDM模型是一个非常成功的模型。首先它非常简单，其次它初步解决了我们在观测宇宙学中很多疑团 —— 分别涉及暗物质和暗能量。

前面提到我们发现星系旋转曲线的异常，另外我们发现了Bullet cluster，以及宇宙的扰动开始演化的时间很早。
旋转曲线异常的一种可能情况是，在星系的外围存在我们还没有观测到（与重子物质的相互作用小，与光子的相互作用小）的物质，提供了额外的引力；Bullet cluster告诉我们，星系中似乎有种我们没有看到的物质，这种物质之间的相互作用很小，而且与重子物质的相互作用也很小，两个星系碰撞的时候，这种物质相互穿越而过，但是它的引力带动了重子物质，形成了子弹穿透物质的样子；宇宙初期，重子物质跟光子相互作用强，光子压强大，一旦物质扰动形成，可以很快被摸平，如果要求扰动开始演化早，那么也需要有一种跟光子和重子物质相互作用小的物质存在。
这样综合起来，据构成了我们LCDM模型中CDM (Cold Dark Matter) 提出的初衷了。

暗能量的引入实际上更加容易理解些。我们通过超新型观测，得知宇宙的加速膨胀，这与简单的CDM模型不符。一种解决方案是，引入一种可以产生负压（提供宇宙加速膨胀的“推动”，可以等效的看作“第五种力”）的奇特物质。

以上是基本的物理想法。那么如何建立具体的模型呢？

一个包含辐射，重子物质，宇宙学常数的场方程[1]应该是
\begin{equation}
G_{ab}=\kappa^2 T_{ab}-\Lambda g_{ab}
\end{equation}

其中\(T_{ab}\)包含了辐射，重子物质和CDM，\(\Lambda\)为宇宙学常数，\(R\)为标量曲率。

这样我们可以解出Friedmann方程和加速方程。虽然我们这篇文章后面不会用到这些方程，但是我还是打算写出来，这样可以打个照面。
\begin{eqnarray}
H^2=\frac{\kappa^2}{3}\rho_m – \frac{k}{3} + \frac{\Lambda}{3} \\
\frac{\ddot a}{a}=-\frac 1 2 \kappa^2 (\rho_m + 3p_m) +\frac \Lambda 3
\end{eqnarray}

其中\(H=\frac{\dot a}{a}\)是Hubble方程，\(a\)是度规中的scale factor，\(k\)代表度规类型.

那么从场方程看，LCDM的特征是什么呢？就是引入了两种奇怪的物质罢了，一种是CDM，放在\(T_{ab}\)中，另一种是宇宙学常数\(\Lambda\)。

LCDM的问题在哪里呢？CDM还算比较自然，但是对于暗能量（宇宙学常数），有很多让人疑惑的地方。比如，它的能量密度太小了。

从场方程中可以看到，这种情况下的暗能量只需要一个标量场就可以涵盖这个仅有的自由度了。因此我们可以把宇宙学常数的动力学解释为一个标量场的动力学。能动张量，
\begin{equation}
T^\Lambda_{ab}=\phi_{,a}\phi_{,b}-g_{ab}(\frac 1 2 g^{ik}\phi_{,i}\phi_{,k}+V(\phi) )
\end{equation}
其中\(\phi\)为标量场，第一项和括号里面第一项是其动能项。
下面可以看一下这个标量场的场方程（用标量场代替宇宙学常数），
\begin{equation}
G_{ab}=\kappa^2 T^\Lambda_{ab}
\end{equation}
于是乎，把上面那个能动张量带进来，除去标量场的动能项。得到的结果是
\begin{equation}
\Lambda_{\text{eff}}(\phi)= \kappa^2 V(\phi)
\end{equation}

自然，我们认为宇宙学常数应该是最低能态。这样我们就把LCDM模型的宇宙学常数与一个我们可以计算的标量场联系起来。QFT 预测的我们的宇宙学常数应该是一个很大的值，但是实际上我们观测到的却是很小的值。这就是 LCDM 模型里面最大的问题。

LCDM 的另外一个问题是，观测数据告诉我们，宇宙学常数的占总能量的份数跟暗物质站总能量的分数差别不大。这就是一个很奇怪的巧合问题，我们为什么恰好生活在这样一个时代，是巧合还是背后有深刻的原因？这就是所谓的巧合性问题。
如果要解决一个问题，需要先了解这个问题。这里我们要对这个问题进行量化：
\begin{equation}
r=\frac{\rho_m}{\rho_x}=r_0 a^{-\xi}
\end{equation}
我们把当今的 scale factor 定为1.那么任何一个使得r的值接近1而且在当今时刻附近是缓变的模型，都可以在一定程度上减轻巧合问题。
举个例子，对于 LCDM 模型，\(r=r_0 a^{-3}\). 这个相对而言，对于巧合问题是个很大的挑战，因为这个函数在\(a=1\)附近变化很快，是个指数形式。因此，我们希望在\(a=1\)附近\(\xi\)的绝对值要尽量小些。这样就说明，会有一段很长的时期是满足\(\rho_m\approx\rho_x\)。这样一来，我们恰好处在一个 CDM 和 DE 差不多相等的时代的可能性就会很大。一个极端的情况是，在整个历史过程中\(r=1\)，这样巧合问题就不再是问题。

[1] 当然比较完整的思路是从作用量出发。我们在真空的作用量上面加上辐射，重子物质，CDM和宇宙学常数，其中宇宙学常数应当是一个负值，以提供负压强。
\begin{equation}
S=\frac{1}{2\kappa^2}\int R \mathrm d^4x + S_r + S_m+S_\Lambda
\end{equation}

[2] 当然，实际上宇宙学常数并不是一种物质，但是最通常的解释的暗能量，此处就暂且说是物质吧