Dark Hypernova
Science and Fiction

爱情的严格量子力学描述

返回来看一下,真是漏洞百出,丢人啊。

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呐,本文的主要目的是卖萌、买萌,总之是萌的交流,而不是知识技术的交流。嗯呐。

另外,本文没有任何性别和性取向歧视的意思,非常欢迎大家做出一个更加全面的“理论”。

提醒:阅读本文需要量子力学基础

要描述一个体系,按照力学的观点,有就是牛顿那个无法实现的理想,应该是包括以下几步:

  1. 描述一个体系的状态。例如如何把初始状态描述出来。
  2. 描述一个体系的时间演化。
  3. 从计算结果中提取我们想要的信息,例如可观测量,物理量等等。

当然在牛顿力学中我们有一套方法,在统计中有一套方法,量子中,基本上就是两者的结合。我们今天要尝试的是,使用量子力学来描述情人节的我。

从非常简单的假设出发,得出了几个结论,不严格的说:

  1. 一个单身的人,如果不接触其他人是不能脱单的(废话 ==);
  2. 一个单身的人,自己是不完备(有严格定义)的(废话 == );
  3. 对于处在单身和恋爱叠加态的人,是可以通过测量理论给出严格的不同的表白结果概率的;
  4. 两个单身男女放在一起,是可能存在纯洁的友谊的,但需要特殊的性别叠加态;
  5. 两个单身的男女放在一起,如果想要脱单,必须两者之间存在相互作用(废话 ==)。

单个体的理论

状态的描述

首先,我是一个单身的男(zhuang)孩(chun)1

来源

所以要描述我的状态,必须有一个表示爱情状态的波函数

另外,我是一个“男孩”,所以必须有

这两个是不同的相空间,这类体系的哈密顿量也是简单的两个不同的哈密顿量的直和,所以实际上能够描述我的态矢是,

这是一个不严格的套路,更加严格的套路必须先定义空间,当然有了上面的灵感,完整的空间应该是

为了简化,我们就简单的认为

并且每个子空间中的态矢是正交归一的。

仅有状态描述得出的推论

我自己是不完备的,因为

时间演化

原则上可以用 Schrödinger 方程,这里我们不用它,而是用另一种更加漂亮的描述。

毫无疑问,这里用到了对易子算符。2

那么对于一个有我自己组成的孤立体系,是不可能从 $\ket{\mathrm{Single}}$ 演化到 $\ket{\mathrm{inLove}}$ 的。所以,我现在的状态

是我自己孤立体系的 Hamilton 的一个本征态。换句话说,

这样一来,我这个孤立体系是没法从演化到 $\ket{\mathrm{inLove}}$ 态的。所以我需要外界的帮助,当然对我来说,这个外界的帮助是一个女孩跟我相互作用。

结果的提取

通过上面的这些讨论,我们可以直接借用 QM 中的测量理论,如果我处在体系(现在可以扩展,不一定是我自己的孤立体系的 Hamilton 了)的本征态上,那么我就是 Stationary 的,换句话说,如果我处在$\ket{\mathrm{Single}}$态(只看这个子空间)上,那么怎么测量我都是这个态,没有时间演化。

但是如果我处在一个叠加态 $\ket{\mathrm{Single}} + \ket{\mathrm{inLove}}$,那么单次测量,我就跳到某一个本征态上,这个情况下当然是概率相等,不过如果我处在 $ C_1\ket{\mathrm{Single}} + C_2 \ket{\mathrm{inLove}}$,那就不等概率了,而且可以计算。(算个球球,你得找个办法得出两个系数好嘛,总不能靠猜。)

二人体系

呐,我们要不要考虑二人(这里仅仅指男 + 女)体系?要考虑这个问题,需要搞清楚这样两个事情:

  1. 二人的相互作用项应该是什么样?
  2. 全同粒子理论会对结果有影响么?

状态描述

无相互作用的情况下,一个比较自然的想法是,我们可以直接把两个人的波函数乘起来嘛,因为如果没有相互作用,总的 Hamilton 就是

这里呢,$\vec r_i$ 是指的各自在总空间的坐标,也就是说,我们可以制作对于二人体系的一个完备基矢 ${ \ket{r_1,r_2} }$.

这样一来,二人体系的波函数可以写作

有什么问题?

  1. 需要考虑全同粒子么? 需要考虑的理由是,如果去掉性别属性,那么所有的人(在我们这个理想模型中)都是全同的,所有性别属性就等价于自旋之类的属性,而且比较简单,因为我们只考虑两个性别(一个更加全面的理论应该考虑所有的情况,例如 Trans)。所以我们必须考虑全同粒子带来的问题。
  2. 相互作用该不该考虑? 需要考虑。因为如果我们不考虑相互作用,那么对于两个处在各自 Hamilton 本征态的人,即便放在了一起,也不能演化成 $\ket{\mathrm{Non-Single}} = \ket{\mathrm{inLove}}$.

所以我们下面需要挨个考虑这两个问题。

全同粒子效应

性别可以组成两个不连通的子空间,一个是性别单态,一个是性别三重态。

性别单态对应的波函数分别是:

性别三重态对应的波函数:

呐,我们现在只讨论其中一类情况,就是 $m_g = 0$ 的情况,因为对称性比较好。

性别单态

这样看来,我们的体系是费米子体系,也就是说粒子交换算符 $P_{12} = -1$ 的体系。

因为性别波函数已经是反对称了,所以我们不需要对爱情状态波函数进行特殊处理,就保持原样即可,因为原来就是对称的。这样合起来的总的波函数是反对称的,符合要求。

性别三重态

只讨论 $m_g = 0$. 性别波函数是对称的,所以需要是的状态波函数反对称。

大家可以发现,三重态中,两个都单身的男女组成的体系中,在本征态中找到两个人同时处在单身的状态是不可能的,这就是对应的 Pauli 不相容原理。

但是这个只是对三重态成立,对于单态,就不存在这个结论。

相互作用

相互作用比较麻烦,我会在另一篇文章中详细讨论这个问题。等这个写全了,可以弄个 April Fool’s Day 文什么的。


第二篇:爱情的量子理论2

  1. 赶紧划掉,已经不是单身了。 ↩︎

  2. biu biu biu,跟统计物理里面的 Hamilton Dynamics 差不多嘛,多了个虚数(好神奇哦),多了个代表量子力学的基本量(好神奇哦),Poisson 括号变成对易子(好神奇哦)。真打脸。刚才说量子力学是统计物理和经典力学的杂交(真的么?)。 ↩︎

By OctoMiao

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