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爱情的量子理论2

系列文章目录:


这是系列文的第二篇,第一篇在此:爱情的严格量子力学描述


之前写过 爱情的严格量子力学描述,由于只是初步想法,所以很多事情没有说清楚。这篇文章就尝试把这些概念弄清楚。所要讨论的大致包括主要假设的确定,状态的描述,演化方程以及结果的提取。

总的说来,思路是这样的,我们提取了量子力学里面的一些方法,然后找出合适的方法来描述爱情。总结在一个 Mindmap 中,是这样的:

Quantum Theory of Love,源文件在此:Mindmap of QuantumLove@GitHub,可以用这个 Mindmup 看。

基本假设

上面那个 Mindmap 做成英语的是因为打算跟系里的人讨论,为了方便阅读,做一个中文的表格吧。

~ 量子力学 爱情理论 爱情中的例子
状态描述 Hilbert 空间的态矢 Hilbert 空间态矢 $\ket{\mathrm{Boy}} + \ket{\mathrm{Girl}}$
对易子 $[\hat x, \hat p]=\mathrm i \hbar$ (似乎暂时不需要) ~
全同粒子 粒子交换算符作用 同样要考虑人的全同性1 性别单态和三重态1
算符 Hermitian 的算符 待讨论2 ~
测量 坍缩或退相干 坍缩或退相干 $\ket{\mathrm{Boy}}\bra{\mathrm{Boy}}$ 作用在 $\ket{\mathrm{Boy}} + \ket{\mathrm{Girl}}$ 上态会变成 $\ket{\mathrm{Boy}}$ 因为这是此算符的本征态
演化 Schrödinger 方程;密度算符 Schrödinger 方程;密度算符 $\mathrm i \hbar = [\hat H, \hat \rho]$

这里面比较重要的是态的描述、测量和演化。

态的描述中提到了一个人的状态是 Hilbert 空间的态矢,这非常重要,因为这样一来,同一个空间中的态的线性叠加还是这个空间中的一个态。也就是说这允许我们这样来描述性别和爱情状态的叠加态。

我们为什么要把性别描述成叠加态呢?因为从心理上来看,男性心理和女性心理之间的区别并不是那么大。但是从测量上来看,我们需要一个性别的算符,因为这是我们关心的事情:男孩暗恋女孩、女孩爱着男孩。所以性别是我们喜欢用的态空间,即

用花括号括起来的态来表示空间,意思是这两个态以及他们的线性组合。

所以如果我们写下一个态,

表示一个人是有 $\lvert C_1\rvert^2$ 成分的男孩和 $\lvert C_2\rvert^2$ 的女孩组成的。我个人觉得这是通常的一种情况吧,有时候像个男孩,有时候像个女孩。

这样当我们测量性别本征态的时候,单次测量的结果是以 $\lvert C_1\rvert ^2/(\lvert C_1\rvert^2 + \lvert C_2\rvert ^2)$ 的概率出现男孩,$\lvert C_2\rvert^2/(\lvert C_1\rvert ^2 + \lvert C_2\rvert^2)$ 的概率出现女孩。

那么,你会问,我们的算符应该是什么样呢?

回忆一下,在 Stern Gerlach 实验中,对于自旋 1/2 的电子测量的时候,如果使用了 Pauli 矩阵,

同样,我们可以使用 $\{ \ket{\mathrm{Boy}},\ket{\mathrm{Girl}} \}$, 然后处在男孩态可以写成 $(1,0)^T$。那么测量男孩女孩就对应于

我们会发现男孩女孩态正好是这个算符的本征态。

对于演化,通常的 Hamiltonian 是不含时间的,所以我们可以定义一个非常简单的幺正的算符,Propagator, $\hat U(t,t_0)$,可以把一个状态从 $\ket{\mathrm{\psi(t_0)}}$ 演化到 $\ket{\mathrm{\psi(t)}}$ ,不含时间的 Hamiltonian 对于的 propagator 比较简单,就是

所以,到目前为止,只要我们找出合适的 Hamiltonian,剩下的问题(一般而言)就是解方程了。

态的解释

解释(interpretate)一个态是什么意思,在我们在一个领域中引入新的方法的时候变得非常重要,因为无论如何,我们至少应该能够跟对应的具体的问题对应起来。

之前我们引入了直积,并且提到了两个人放在一起可以组成两类状态,一类是性格三重态,其中一种是

另一类是性格单态,

这里面有了纠缠,就是说如果现在有两个人,他们处在 $\ket{\psi_{t0}}$ 态,那么如果我们通过测量知道一个人是 $\ket{\mathrm{Boy}}$ 态,那么另一个人必然是 $\ket{\mathrm{Girl}}$ 态。这个结果是不是说的过去,我并不是非常的确定。从豆瓣的一些帖子或者我说来看,似乎给我一种印象是,爱情中的两个人似乎常常是一个偏女性,一个偏男性,这么说来似乎也说的过去。另外一对情侣,常常是一个主内一个主外,两个同时主内或者两个同时主外,似乎会有冲突,从波函数来看,同时发现他们主内或者同时发现他们主外的概率是零。

这就是所谓的 Pauli 不相容原理。根源上还是人的全同性,即,在我们的简单的模型中,如果爱情状态波函数相同,去掉了性别属性波函数,剩下的是完全相同的,把他们混在一起,是无法区分两个人的。例如,两个人的爱情状态都是单身,

那么我们把这两个人自由的放在一起(等价于说体系的 Hamiltonian 是 $\hat H = \hat H_1 + \hat H_2$),不考虑性别状态,总的波函数应该是,

是么?显然不一定。取决于性别状态波函数是什么样子的。

一个比较有趣的情形是,如果两个人处在性别三重态上,性别波函数是对称的,由于总的波函数应该是反对称的,两个人组成的体系的爱情状态应该是

我们不能同时发现两个人处在相同的状态上,在现实中,可以解释为,如果两个人处在性别三重态,那么两个人不能同时 inLove 或者同时 Single。物理问题中,原因当然是交换算符的作用。那么现实中原因是什么呢?可以理解为,这种情况可以理解为单恋。

如果两个人处在性别单态上,那么

对应单恋,

或者

对应两人相爱,

再或者

两人对对方相互没感觉。

这里可以看到,虽然,性别三重态显然决定了两个人不能相爱,但是到底两个人是相爱、单恋还是对对方无感,并不仅仅取决于性别态,因为处在性别单态的两个人,可以有三种可能情况。

到现在位置,我们讨论了很多状态的描述和解释,以及测量的问题。另外一个大问题是演化的问题,这也涉及到如何让两个原本不想爱的人相爱,如何让爱你的人爱上你,如何让爱你的人变得不爱你这样的问题。关于这些,我会写在量子爱情系列的下一篇中。


这是系列文的第二篇,第一篇在此:爱情的严格量子力学描述

  1. 之前的文章中提到了:爱情的严格量子力学描述。 ↩︎ ↩︎2

  2. 由于暂时没有实数本征值的需求,索要待讨论。 ↩︎

By OctoMiao

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