量子力学计算的一个小技巧

量子力学里面很多 e 指数函数，这类函数的一大特点就是导数会出现这个函数本身，所以有时候可以利用这个特点来简化计算。

例如我们有一个初始状态，态矢在位置基矢下的表达式，

\[\phi = C e^{i C _ 1 x} e^{C _ 2 x^2}\]

当然，这里的三个常数可能是 \(C = \frac{1}{(\pi \eta^2)^{1/4}}\) \(C_1 = p _ 0/\hbar\) \(C_2 = -\frac{1}{2\eta^2}\) 但是对于我们的计算来说，这些常数是多少，并无大的影响，所以就不再代入具体的形式了。

而我们要计算的是动量在位置基矢下面的不确定值，计算过程中需要求解这个量：

\[\bra{\psi}\hat p^2 \ket{\psi}\]

而求解这个量的过程中，需要用到如下的计算

\[\psi^ * \frac{\d}{\d x}\frac{\d}{\d x} \psi\]

一个比较简便的做法是定义如下的中间量 \(G = \frac{\d}{\d x} \psi\)

至于为什么要这么定义，我们继续计算，就可以看到这样做的好处了。

先求解 G

\[G = \psi (i C _ 1 + 2 C _ 2 x)\]

我们把这个结果代入要求解的式子中，

\[\begin{eqnarray} \psi^ * \frac{\d}{\d x}\frac{\d}{\d x}\psi &=& \psi^* \frac{\d}{\d x} ( \psi (i C _ 1 + 2 C _ 2 x) ) \\ &=& \psi^ * \psi 2 C _ 2 + \psi^ * G (i C _ 1 + 2 C _ 2 x) \\ &=& \psi^ * \psi (i C _ 1 + 2 C _ 2 x)^2 + \psi^ * \psi 2C _ 2 \\ &=& \psi^ * \psi \left[(i C _ 1 + 2 C _ 2 x)^2 + 2C _ 2 \right] \end{eqnarray}\]

而 \(\psi^ * \psi\) 这一项里面的带有虚数指数的部分变成了 1，所以最后的计算就会比较简单，不易出错。

如果大家有好做法，可以分享一下。