关于宇宙膨胀的两个常见误解

超过光速的膨胀

狭义相对论告诉我们，信息传播不能超过光速，否则会有违反因果律的问题。那么，我们说宇宙在膨胀，宇宙膨胀会超过光速么？

超越光速

为了看清楚这个问题，我们需要拿出我们的数学工具。假定存在一组随着宇宙一起膨胀的惯性观者，该组观者在观察宇宙中的两个点：${t, r_1,\theta,\phi }$, ${t, r_2,\theta,\phi}$. 这里为了简便，使用了（广义）球坐标。而且，这里使用的是 comoving coordinate，或者叫做共形距离，空间部分并不会变化。

我们通过狭义相对论已经知道了，两点之间的距离的计算方法。实际上在我们常常说的 FRW 宇宙，也就是各项同性且均匀的宇宙中，距离的计算方法是

\[\mathrm ds^2 = c^2 dt^2 + a(t)^2( \mathrm dr^2 + \chi ( \mathrm d\theta^2 \sin^2\theta \mathrm d\phi^2 ) ) ,\]

其中 $a(t)$ 是 scale factor，代表了宇宙的尺度的变化，可以说是宇宙中尺子的共形变换因子。

把我们定义的两点的坐标代入进去，会得到

\[s = a(t) (r_1 - r_2) .\]

我们想要看的是 s 的变化的快慢，也就是「速度」，

\[\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} = \dot a (r_1 - r_2) .\]

也就是说，只要宇宙膨胀的速度足够快（$\dot a$ 足够大），不管这里两点之间的共形距离多么小，这个所谓的速度总可能超过光速。

所谓速度

我们来看看这个速度是什么意思。

我们讨论的是一个两个点相互背离的速度，这种算法跟我们在狭义相对论里面的一个常见的计算一样。即，如果有两个飞船分别从南极和北极飞出，各以 0.75c 的速度背离地球。那么我们作为地球上的观察者，这两个飞船相互背离的速度，就只能这样加起来，也就是 1.5c .

怎么？这个会违背相对论？不会。因为这压根不是任何形式的信息传递速度。

我们这里计算的所谓的超越光速的膨胀，跟这个例子是一样的，压根就不是真正的物理速度，没有信号传递。

什么在膨胀？什么不膨胀？

一起这个问题在豆瓣物理组讨论过。我再拿出来说说。

这个问题是说，如果我们说宇宙在膨胀，现在我们要量两个星系之间的距离，如果尺子也随着宇宙进行相同的膨胀，那么我们用这把尺子量，是不能发现宇宙的膨胀的。当然这只是个很简单的情形，这个问题带来的一个思考是：我们说宇宙膨胀，到底是什么膨胀？尺子会膨胀么？

我们的太阳系会膨胀么

我们现在考虑，我们的太阳系现在在膨胀么？

显然我们的太阳系（几乎）没有膨胀。

那我们的银河系在膨胀么？

也（几乎）没有。

那么一个半径 10000 Mpc 的区域呢？

这个是在膨胀的。

那么，我们是怎么判断的呢？

简单的判据

我们还是需要使用数学来做一个简单的推算。

考虑一个直径为 $D$ 的区域，假定这个区域内的物质分布是均匀的。

我们知道宇宙的膨胀是通过 $a$ 来体现的，更加确切的说，是通过 $H(a)$ 这个哈勃参数来体现的。实际上 $H(t)$ （常使用 km/s/Mpc 的单位）的意思是值得在每个 MPc 的距离上，星系的推行速度。也就是说，$c H^{-1}$ 就代指了有因果联系的区域的大致的直径大小。

所以我们的判据应该是：

• 如果 $D\gt c H^{-1}$，那么这个区域就是在膨胀的，因为任何形式的束缚场都不能够在大于 $cH^{-1}$ 的区域上进行作用；
• 如果 $D\lt c H^{-1}$，那么这个区域是基本不膨胀的，因为这些物体可以被引力（或其他作用）束缚住。

总之，膨胀还是不膨胀，考虑的是宇宙膨胀的效应和物体之间的束缚场的作用谁强谁弱。