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四元数和转动

上周 (May 21, 2014,此文已经多次更新) colloquium 的时候,第一次听到 quaternion 这个词,觉得很新鲜。quaternion 的矩阵表示是

当时这个定义写出来,我立刻就想到了复数 $C = a+ib$ 的矩阵表达,

或者说,任何复数都可以写成

的形式。$\mathbf J$ 定义为 $i \boldsymbol \sigma_2$. 也就是说这里所有的元素都是实数,是复数的一种表示方式。

也有定义 $\mathbf J = - i \boldsymbol \sigma_2$ 的方式,这样的定义好处是可以直接跟转动对应起来。

之所以可以写成这样的形式,是因为

\begin{equation} \mathbf J ^ 2 = - \mathbf I. \end{equation}

这样就跟虚数单位 $i$ 很像。这里似乎有一个可以自由选择 $\mathbf J$ 的符号的问题。

另外这个原因跟 $\mathbf J$ 的本征值是 $\pm i$ 有关。

仿照复数的矩阵表达,我们可以想象如果把用来做基的矩阵扩展到复数域上的矩阵,那么就可以扩展基的个数,从而扩展数的行为,而且在选取某些基前面的系数为零的时候,可以退化到复数的情况。也就是说,quaternion 矩阵表示的基可以用复数的矩阵来表示,也暗示了我们需要使用更多的 Pauli Matrices.

例如文章开头的四元数 $q$ 可以拆解为

其中 $\mathbf J_i = i \boldsymbol \sigma_i$.

一个非常有趣的问题是,既然复数常常可以解释为转动,那么四元数是否也是对应某种转动呢?

复数理解为转动的想法,可以在复数坐标系里面理解。虚数部分和实数部分形成一个坐标,或者向量,可以解释为一个跟实数轴正向形成的角度,复数乘法可以解释为角度的相加。这个可以使用三角函数关系证明。

当两个复数相乘的时候,其实是实数部分会和虚数部分以及虚数单位相乘,而一个实数乘上一个虚数单位,其实就把这条边转动了90度。

换个角度来看这个问题,那就是转动的矩阵表达其实就是

四元数的几个好玩的性质

做了这样的推广之后得到的 quaternion 还有还好的性质,

  1. 在加法,乘法和实数乘法下面是 closed.
  2. 模是两个复数的模之和。

这些性质都很容易验证,特别是在 closed 这条,我们可以进一步验证这构成一个群。

还有一个非常漂亮的性质就是自己乘以自己的 hermitian conjugate 等于其模乘以单位矩阵,

为什么这个漂亮呢?因为这样我们就可以往 $2\times2$矩阵里面随便插入这个量除以其模。

另外一个非常有趣的事情是,quaternion 可以跟 Pauli matrices 联系起来。从之前的矩阵分解来看,一个任意的 quaternion,可以通过 Pauli matrices $\vec \sigma$ 和一个四向量 $\vec x$ 来生成,

这个也正好体现了 Pauli matrices 外加单位矩阵的完备性。

再加上 Pauli matrices 跟转动有关,所以这个简单的推广在物理中有很重要的应用。

转动

回想一下,欧式空间的转动,

显然这个转动是个复数,写成常见的复数形式,应该是

进一步用欧拉公式,

然后这里可就让我们想到了这是二维欧式空间转动的生成元。

除了生成元的看法,还有一种比较直观的方法来理解转动,那就是给定一个复数,另一个复数作用上去的结果是一个转动过的复数。

也就是说,一个复数 $z_1$ 作用在另一个复数 $z_2$ 上产生了两个效果:

  1. 长度增加了 $\rho_1$ 倍
  2. 角度转动了 $\phi_1$

再换句话说,单位长度复数作用在另一个复数上的结果是一个纯粹的转动。

要理解四元数对应的转动,需要先指明四元数对应的空间。如果我们指定四元数的长度,那么可以看到是一个四个参数的长度,其实是半径,也就是可以看作四维空间中的三维球面。作为对照,定长复数是个二维的圆。

在三维欧氏空间中,围绕任意单位矢量 $\hat u = u_1 \hat e_1 + u_2 \hat e_2 + u_3 \hat e_3$ 转动角度 $\theta$ 的生成元是

如果我们把一个四元数的各个基 $\mathbf J_i$ 分别跟 $\hat e_i$ 对应起来,那么我们就可以把四元数作为三维的转动来理解转动来理解。例如对于任意的四元数我们可以写成

这样一来,$\hat u$ 就跟 $ \frac{ u_1 \mathbf J_1 + u_2 \mathbf J_2 + u_3 \mathbf J_3 }{ \lvert u_1 \mathbf J_1 + u_2 \mathbf J_2 + u_3 \mathbf J_3 \rvert } $ 对应起来了。这里我们直接用 $\hat{\mathbf u}$ (粗体是因为这里是矩阵表示)替换这一项,

这样我们就可以用 Euler 公式来重新写出四元数 $\mathbf q$,

其中的粗体的矩阵无非就是等价于坐标轴的单位矢量。

对于任意的三维空间的矢量 $\vec s$,我们可以把这个矢量围绕一个矢量 $\hat u$ 转动 $2\theta$ 写作 $\mathbf q \vec s {\mathbf q}^{-1}$.

Hamiltonian

我们可以看一下一个二能级系统的 Hamiltonian,因为是 $2\times 2$,所以可以使用 Pauli matrices + identity 展开,然而 identity 对应的是个 global phase,所以我们可以只用 Pauli matrices 来表示一个 Hamiltonian,

对于一个 unitary 的变换 $\mathbf U_0=\cos\theta \mathbf I + \sin\theta\hat{\mathbf H}$ 作用在 Hamiltonian 上,即 $\mathbf U_0 \mathbf H \mathbf U_0^\dagger$,我们可以证明这是 Hamiltonian $\mathbf H$ 的旋转。

为了看清楚这个转动,我们刚刚定义一个正交空间,$\{\mathbf I, \vec{\mathbf J}\}$。通过 Hamiltonian 的写法已经比较明显,就是我们的基矢是 Pauli matrices 组成的。我们构造的转动,其实是一个围绕 $\hat{\mathbf H}$ 的转动,因为我们发现我们构造的转动对 $\mathbf H$ 不起作用。这类似于欧氏空间的转动,围绕自身为转动轴的转动不改变这个矢量本身。

那么一个更加一般的 unitary 变换呢?例如 $\mathbf U=\cos\theta \mathbf I + \sin\theta \hat{\mathbf u}$,这里 $\hat{\mathbf u}=\hat u \cdot \boldsymbol{\sigma}$ 是个单位矢量(等价于说 $\vec u$ 是个欧氏空间的单位矢量)。 我们可以证明 $\mathbf U \mathbf H \mathbf U^\dagger$ 是一个围绕转动轴 $\hat{\mathbf u}$ 的转动,转动的角度是 $2\theta$.

中微子物理

在场论中,常常遇到需要转换态空间的情况。例如对于中微子来说,真空中的中微子振荡的 Hamiltonian 在味道空间写作

也就是说,这个 Hamiltonian 可以看作是

以 $i \boldsymbol \sigma_2$ 为轴转动 $\theta$ 的结果。

而这里 $\mathbf H_p$ 就是本征能量基上的表示,而 $\mathbf H_f$ 是味道空间的表示,两者之间相差一个转动。这也就是所谓的 Flavor Isospin Language. 当然如果想要把整个 Schrodinger 方程变成三维空间里的矢量语言,我们需要对波函数(或者密度矩阵)做相应的处理。

By OctoMiao

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