Dark Hypernova
Science and Fiction

我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么

这是一个系列栏目,我们将对一个初步问题逐步剖析,给出解释并不断引出新的问题。

第一节

准备知识:

Q:什么是开宇宙?什么是闭宇宙? A:选取球坐标:t,r,$\theta$,$\phi$。给定一个 FRW 度规:

如果k=0,那么这个度规是一个平直的欧式度规,也就是平直的宇宙;如果k=−1,那么这是一个双曲面的度规,代表开放的宇宙;如果k=+1,这是一个球面度规,这代表闭合的宇宙。这里面之所以k只能取孤立的值,是因为我们故意通过调节a[t]把它scale过了。

我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么?

[IMPORTANT:要么不读下面的,要么全部读完。]

下面我们使用连续流体模型来计算宇宙的演化。在这种简化的模型下,宇宙的演化是由宇宙的内含物质的多少和属性以及设定的度规,按照Einstein方程( $G_{ab}=8\pi T_{ab}$ )来确定的。

使用我们一开始给出的坐标和度规。为了讨论宇宙是否可以有一开始的开(或者闭)演化为闭(或者开),这里先假定代表宇宙的开闭的k与时间有关,记为k[t]。也就是说,度规为:

计算得到 Einstein 张量,完整的式子可以从本文结尾所附文档中查看。

一般而言,我们的使用各项同性的理想流体模型。对应的物质的能动张量 $T_{ab}$没有非对角项。也就是说,利用Einstein方程,我们得到,$G_{01}=0$。即

如此我们便得到代表宇宙的开闭的k必定是一个与时间无关的量。从而证明在理想流体各项通过性FRW模型中,宇宙不可能从闭合演化为开放或者相反。

其他模型? 如果想要使得k含时,必须使得能动张量存在两个非对角项,即 $T_{01}$ 和 $T_{10}$。也就是说要使用非理想的流体模型。然后通过非对角项增加一个方程,用了解决增加的含时未知量k[t]。这样方程依然很可能可解。 下面要解决的问题是,如果引入非理想流体模型,那么是否是要偏离理想流体模型多远呢?因为我们的宇宙中的星体相隔比较远,产生shear的可能性比较小。所以偏离理想流体模型太远的模型是不可靠的。

[2011-07-29][IMPORTANT]

上面提到使用非理想流体模型。这个说法不太对。因为非理想流体最多在空间分量上引入非对角。

从上面的计算可以看到,如果要求k含时,那么要求T01不为零。意思是说,要求在r方向存在能流密度。这跟是不是理想流体没什么关系。物理上讲,这是显然要这样的,因为比如我们想要宇宙从闭宇宙演化为开宇宙,而我们用的又是各向同性的度规,那么可以通过减少空间各点的能量密度来实现。但是同时,物理上讲,这个又很奇怪。因为我们这里的能动张量是一个共动坐标上的量,所以如果存在这样的能流项,意味着空间每一点的共动的能量密度在流失或者流入,也就是意味着能量的消失或创生,这一点非常非常难以令人接受。

所以上面提到的其他模型,一般也是不行的。

需要提到的一点是,这个方法来证明有两个问题:

a. 我们得到度规的时候,是把 $\frac{\mathrm d^2 r}{Kt}$ 分母上的含时间的项提出来,这里k之所以只能够取1,0,-1是因为这分别代表着球面度规,平直度规和双曲面度规。所以上面直接取k[t]含时间的方法不太合适。 b. 这样证明多此一举。正如上面所说,如果一开始我们选定一个度规,那么含时间的项只是K[t]。不管这一项如何变,都不会导致几何性质从球面度规变化为双曲面度规或其他的。

第二节

第一节中用了一种不恰当的方法来讨论这个问题。但是我们给出了一个比较好的物理解释。 现在,我们将重新思考这个问题,并在文章结束提出下一期的问题。

梁灿彬的《微分几何入门与广义相对论》一书中,讨论了如何找到可以描述所有满足宇宙学原理的可能的度规的方法。通过讨论,得到了三种度规可以完整的描述所有的最大对称性的静态度规。度规的空间部分列出如下:

在这三种情况里面,我们总可以做共形变化,把这些度规变成静态的球面、欧式或者双曲面的度规。写成下面的形式

其中,k只取-1,0,1.因为我们故意通过通过变化scale factor a(t) 来代替上面的三个式子中的K(t)。

这样一来,宇宙的时空曲率的信息都放在了scale factor中了,而k决定了宇宙时空几何的类型,即球面,平直还是双曲。如果我们选定一种作为宇宙开始的时候的度规,比如这里我们选取球面度规,那么随着宇宙的演化,宇宙的曲率将从无穷大一直减小到0。我们不会再去讨论这个曲率从零变为负值的情况。因为时空曲率变为零,意味着scale factor无穷大,也就是说,意味着是无限远的未来。由于能量密度不能为负,所以不可能从一种类型的时空几何变为另一种类型。

下面我给出详细的计算。思路是,看一下是不是有可能从一种接近另一种然后到达最后一种情况。由于一旦度规写出来,其实就确定了一种时空几何,所以只能看其渐进行为,比如是从球面度规渐进平直。实际上不用计算也能够明白,渐进行为是可以的,这意味着无穷久之后。

假定一开始的宇宙的度规如下:

当然,其中的A[t]为正。计算得到Einstein Tensor为

通过Einstein Equation,即 $G_{ab}=8\pi G T_{ab}$ 得到两个方程,就是修正的Friedmann方程。

重新整理得到,

到现在位置,我们就可以发现这里A[t]具有scale factor(或者说其平方)的作用相同。当这个量可以从0变到无穷大,却不可能变符号。因为从上面的方程组的第一个式子可见(需稍许分析讨论),变化符号,意味着能量密度为负。显然不能如此。

我们可以进一步计算,假定物态方程 $w=p/\rho$ 为不含时的量,这样可以得到下面的结果。

A[t]>0时,

A[t]<0时,

从这里也可以看出 A[t] 即 $a^2[t]$.(事实上一开始定义如此。)

剩下的步骤与梁灿斌老师的书上的步骤相同,解出A[t]。然后稍加讨论,可以得到,如果一开始的时空几何类型是确定的,那么就不能越过平直变为第三种。但是如果一开始平直,那么可以从平直变为另外两种。

附录:

Mathematica文件:OpenOrCloseMathematicaFile. 其中Great.m是package文件,如果想要重新计算,请先运行此package。EinsteinTensor.nb为Einstein张量的计算。Calculation.nb为其余式子的计算过程。

下面思考问题:

真的不能够从?如果在Einstein方程中引入新的量呢?比如我们引入神奇的Λ或者暗能量?

第三节

上面浪费了很多时间来求解Einstein方程。最后我们又提出了一个问题:如果存在 $\Lambda$ 或者 Dark energy 呢?

首先,重新看一下准备知识。什么是开宇宙?什么是闭宇宙?我们很可能会觉得,代表宇宙膨胀的大小的scale factora(t)如果一直变大,那么就应该表示开宇宙,如果scale factor后来变小,直到变回零。那么就是闭宇宙。 但是这里有个问题。表示时空的几何类型(球面、平直还是双曲)的k(只能去1,0.-1)和scale factora(t)到底会不会回到零有什么关系?两者之间有确定的对应关系么?

我们看一下Friedmann方程等。

稍加化简,得到

从这个方程可见,scale factor的演化是由ρ和p来决定的。这跟表示时空的几何类型的k没关系。

也就是说,如果我们依照第一节中的定义方法,那么闭宇宙并不表示宇宙将来会collapse。

举一个简单的例子。 假定宇宙开始是个闭宇宙,即仅仅说明k=+1。宇宙开始时是Radiation domination,因此我们可以计算出scale factor的演化。

其中 B为不含时常数。(我沿用了梁灿斌书中的记号。) 这样a(t)是一条开口向下的抛物线。如果宇宙中始终只有radiation的而一开始又是k=+1话,那么宇宙将会collapse。 但是,假定在某一个时刻,宇宙从radiation domination过渡到matter domination。这时候,scale factor的方程变为

这里的待定的系数是有边界条件(比如radiation matter equality时刻的值)来确定的。这里面的参量看起来挺奇怪,但是不管如何,t和$\hat t$是正相关的,在x很大的时候,基本上就可以看做是一条直线。现在我们可以暂时认为$\hat t(t)$可以用来表征时间。那么scale factor随着时间的向前推移,在合适的范围内,scale factor是个减函数。 到现在位置,如果只存在radiation和matter,而且一开始宇宙的时空几何是k=+1,那么宇宙将只会collapse。

下面我们就引入我们的另一员大将,Dark Energy。在collapse之前,如果有足够多的dark energy,然后宇宙转化为物态方程为w的dark energy主导,那么可以求解到下面的结果。

这样一来,scale factor的导数a˙最终将会增加,从小于零逐渐变为零,然后如果此时宇宙还没有collapse,那么scale factor的导数a˙将会变为正值,也就意味着宇宙将不再collapse,而是无穷无尽的变大,知道big rip(或者最近有篇文章讲的little rip模型,这是题外话)。

上面的论述证明了宇宙是可能从一开始的看似是要collapse演化到后来永远膨胀的。

我们一开始之所以没有去仔细讨论k和a的关系,是因为如果仅仅存在radiation和matter,那么k=+1就正好意味着宇宙将会collapse,不管宇宙中是radiation还是matter还是二者混合。k=−1也正好意味着宇宙一定是一直膨胀下去的。反之,只要取合适的状态方程和能量密度,开宇宙也可以演化为闭宇宙。

最后,其实按照一般的这种想法(a的行为才反映出宇宙的开和闭),我们在第一篇post中所用的开宇宙闭宇宙的定义不够好。所以最好还是按照scale factor的行为来定义,而k仅仅告诉了我们宇宙的几何类型(球面的,平直的,还是双曲的)。

小结

总结:

什么是开宇宙、闭宇宙?

这个问题我想重新阐述。讨论一个宇宙是开宇宙还是闭宇宙,一个比较好的参量是看scale factor, $a(t)$。如果在t→0时,$\dot a(t) \geq 0$,也就是说如果宇宙最终一直膨胀下去,那么我们可以把这一的宇宙说成是开宇宙,因为这个宇宙是一个开放的;如果 $t\to 0$ 时,scale factor $a(t) \leq 0$,也就是说宇宙最终将塌缩(collapse,不知道翻译成塌缩合不合适,反正差不多这个意思),那么可以叫这样的宇宙为闭宇宙。

在第一节中,我使用了一种不同的说法。那种说法只有在宇宙只含有matter或者radiation(或二者混合)的时候才成立,也就是说,那种情况下,k的取值正好对应着宇宙的开闭。但是如果宇宙中存在dark energy(或者 $\Lambda$,whatever),那么这个结论就不再正确。(这一段讨论可以简单的从 Friedmann 方程看出来。)

结论是,在理想流体模型中,如果存在dark energy,那么宇宙可以从闭宇宙演化到开宇宙,同样的,也可以从开宇宙变为闭宇宙。

好吧我承认这样说起来有点乱,这里可以理解成 $\dot a(t)\geq 0$ 为开宇宙,$\dot a(t)\leq 0$ 为闭宇宙。这样理解的话开和闭就成了一种某时刻的状态了。这种说法最好只是限于此处讨论。导致这样的结果全部是因为我提出了错误的问题。可见一个正确的好的问题对于一篇文章是多么重要。

补充:

  1. 在第一篇post(我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么?[第一节])中,采用了一种看似不太正确的算法。下面我用少量的公式论证这种做法其实是正确的。 因为如果我们做一个简单的变量代换 $\hat r=\sqrt{\lvert k\rvert}$,那么

就变为

也就是说,正如梁灿斌在其书中所说一样,如果k不取0,1-1,那么我们可以把它scale到这种情况。同样,如果我们不选择scale到这三种情况那么前面的第一篇中的讨论就是非常合适的。

  1. 第一篇中所得到的Einstein张量和能动张量,很多项都是r的函数,而又不能跟能动张量里面的那些r的项对应起来。这样要么就要得到与r相关的scale factor的演化方程,要么就需要构造奇怪的能动张量。

  2. 可以考虑一下modified gravity下的情况,比如比较简单的情况:f(R)模型。

Acknowledgement:

I am grateful to XU Xiaodong and LIU Yunqi for they have pointed errors in my original post and for their helpful discussions.

By OctoMiao

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