Implementation of Shooting and Convergence Studies

这一节学习 Matlab 解微分方程，并且跟随 Prof 一起来用 Shooting 方法解决边值问题（boundary value problem）的例子，当然这里面包括了 time-stepping 方法。

4.1 Converting to 1st-order Problem

我们下面要解决一个具体的问题例子： \begin{eqnarray} \phi_{xx} + (n(x) - \beta )\phi &=& 0
\phi(\pm 1) &=& 0 \end{eqnarray}

为了简单我们给定一个 $n(x) =100$。

现在回想一下我们之前讨论的理论，是下面的形式： \(\frac{\mathrm d y}{\mathrm dt} = f(t,y)\) 那么我们的任务就是：把现在的问题转化成这类一阶的问题。

我们定义 \(\begin{cases} y_1 = \phi \\ y_2 = \phi_x \end{cases}\)

然后很容易代入原来的问题中，得到 \(\begin{cases} y_1’=y_2 \\ y_2’ = (\beta - 100) y_1 \end{cases}\)

太好了，我们现在就把问题转换成一阶的问题了。也就是说，写成矢量形式： \(\frac{\mathrm d\vec y}{\mathrm dx} = \vec f(x,\vec y)\) 其中， \(\vec y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\) \(\vec f(x,\vec y) = \begin{pmatrix} y_2 \\ (\beta - 100) y_1 \end{pmatrix}\)

4.2 Implementation of Boundary Conditions

上面只是方程本身的，我们还有边界条件。所以最终，我们要解决的问题就是：

\(\begin{cases} y_1’=y_2 \\ y_2’ = (\beta - 100) y_1 \end{cases}\) \(\phi(\pm 1) = 0\) \(\beta < 100\)

为什么 $\beta < 100$ 呢？现在我们想一下 $\beta > 100 $，那么我们要解决的问题是： \(\phi_{xx}= (\beta -100 )\phi\) 这样的话，解就是 \(\phi \propto e^{\pm \sqrt{\beta -100} x}\)

这个解是没法满足边界条件$\phi(\pm 1) = 0$ 的。因为这个解是单调的，而我们要求在 -1 和 1 处有相同的值 0。