Dark Hypernova
Science and Fiction

Boundary Value Problem

这部分主要讲 Shooting Method

Shooting method 顾名思义,类似于打鸟的时候,随便开一枪,然后根据效果来校准后面的射击的方法。

3.1 Boundary Value Problems

$\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm d t^2} = f(t,y,\frac{\mathrm d y}{\mathrm dt})$

需要两个条件,例如我们给:

$\alpha_1 y(a) + \beta_1 \frac{\mathrm dy(a)}{\mathrm dt}=\gamma_1$ $\alpha_2 y(a) + \beta_2 \frac{\mathrm dy(a)}{\mathrm dt}=\gamma_2$

例如:

$y(a)=\alpha$ $y(b)=\beta$

真实的路径可能是这样的:

Path

3.2 Shooting Method & Bisection

在我们把问题解决之前,并不能知道两个固定的起点和终点之间的情况。

Shooting Method 是说,我们可以假设一个初始的斜率

先猜一个 A=A1,然后加上已知的 y(a)=a 这个条件,去尝试,算到 b 点的时候得到一个结果 y(b)=b1,假定 $b1>\beta$; 然后再换一个 A=A2 值做一遍,得到 y(b)=b2<\beta。这样我们要求的 $y(b)=\beta$ 在 b1 和 b2 之间。 那么我们知道正确的 A 应该在 A1 和 A2 之间。

所以我们取 A=(A1+A2)/2=A3,再重复上面的过程,得到的结果y(b)=b3: 如果 b3>b 则取 A=(A1+A3)/2,再重复上述过程; 如果 b3<b 则取 A=(A2+A3)/2,重复上述过程。

用图像表示就是

Path

类似于我们要用枪命中圆圈的点,现在我们随便开了一枪,发现太高了,然后我们把枪放低些再射击,发现太低了。那么我们下一次就调整为第一次和第二次射击的角度的中间值,再试。第三次可能还没有命中,再根据第三次的具体情况跟第一次或第二次的射击角度取平均值。

这是为什么叫做 shooting method.

3.3 Reduction of Infinite Domain

有一类常见的本征值问题: $\frac{\mathrm d^2\phi_n}{\mathrm dx^2}+[n(x)-\beta_n]\phi_n =0$

这类问题有个很大的问题。我们考虑当 $x\rightarrow \pm \infty $ 时,$\phi_n \rightarrow 0$ 。要知道我们的计算机可不喜欢无穷,就这个问题而言,我们需要进行无穷步,才能获得 $x\rightarrow \pm \infty $ 的情况,无穷在数值计算中式不存在的的东西。

那么实际中我们应该如何操作呢? 实际上我们只能考虑 $x\in [-L,L]$ 的情况,当然要求 L 很大。(很大什么意思还需要讨论。) 这时候, $\phi_n\rightarrow 0$

3.4 Formation of Practical Example

对于上一节,可以举一个例子: $n(x)=\begin{cases} 1-|x|^2 & \mbox{x<1} \ 0 & \mbox{x\geq1} \end{cases}$

这样当 $x\rightarrow 0$ 时,方程就变成了 $\frac{\mathrm d^2\phi_n}{\mathrm dx^2}-\beta_n\phi_n =0$

这是简单的常系数的方程,可以猜出通解: $\phi_n = C_1 e^{\sqrt{\beta_n} x}+C_2 e^{-\sqrt{\beta_n} x}$

在 x->L>0 时第一项是很坏的一项,因为这一项会随着 x 的增大很迅速的变到无穷。所以我们就第一项扔掉。这样我们就有了一阶方程: $\frac{\mathrm d\phi_n}{\mathrm dx}+\sqrt{\beta_n}\phi_n =0$

这是斜率的情况。(<span style=’color:red;”>然后这样有什么好处呢?</a>)

同样的方法,可以得到 x->-L<0 时候的情况: $\frac{\mathrm d\phi_n}{\mathrm dx}-\sqrt{\beta_n}\phi_n =0$

By OctoMiao

Last updated