关于Grandcanonical ensemble的巨配分函数的一些讨论

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续:

总结:
1.问题
\(\Xi =\sum \left(e^{-\alpha }e^{-\beta \epsilon }\right)^N\)

收敛条件\(|\text{z$\phi $}|<1\)。重点不是要求\(\Xi\)收敛,关键是要求热力学量收敛。(后面我们会证明对于这种经典无相互作用情况,\(\Xi\)不收敛,一定导致热力学量N,U不收敛。)

2.问题延伸
先不解决这个问题。很自然的想知道,一般情况下,
\begin{eqnarray}
\rho &=&\frac{1}{\Xi }e^{-\text{$\alpha $N}-\text{$\beta $E}_S} \\
\Xi &=&\sum \sum e^{-\text{$\alpha $N}}e^{-\text{$\beta $E}_S}
\end{eqnarray}

若\(\alpha < <0\)的某些情况,\(\Xi\)发散,没关系。这其实是归一化问题,类似于平面波无法真正的归一化一样。
我们关心的是热力学量。这个没有办法一般证明。但是可以一般的看一下。\(\alpha < 0\) ,\(\rho =1/\Xi e\text{xp}(|\alpha |N-\text{$\beta $E$\_$}\{S\}])\)
N越多,体系出现的概率越大。显然,\(\overset{-}{N}\to \infty\),\(\overset{-}{U}\)很有可能趋于无穷 。

对于无相互作用可区分的情况,可以准确证明:
\[
\Xi =\sum \left(e^{-\alpha }e^{-\beta \epsilon }\right)^N=\sum (\text{z$\phi $})^N\overset{-}{N}=\frac{-\partial }{\partial \alpha }\text{Ln}[\Xi ]\overset{-}{U}=\frac{-\partial }{\partial \beta }\text{Ln}[\Xi ]
\]

很容易证明(柯西判据),如果\(|\text{z$\phi $}|>1\),i.e.,\(\mu >\epsilon\),那么\(\overset{-}{N}\),\(\overset{-}{U}\)都不收敛。

3.回到问题(经典可区分固体)
但是对于第一个问题,\[|\text{z$\phi $}|<1 \text{is} \text{guaranteed}.\mu =\frac{G}{N}=\frac{(U-\text{TS})}{N}< \frac{U}{N}=\epsilon => \mu <\epsilon , i.e., |\text{z$\phi $}|<1\]

4.Physics?
前面证明某些情况下热力学量可能不收敛。那么不收敛是什么意思?
应该是体系没有平衡态!eg,如果选定合适的条件,比如源粒子与sys的结合能力很强(引力体系,熵力体系?),粒子可能源源不断的进入体系。

5.问题
a. \(\mu\)是什么意思?化学只关心两种之间的差值,他们喜欢选定某些参考值来确定\(\mu\),比如最稳定同位素为标准。但是我们物理上,一般是可以计算绝对值。
比如气体等,\[\mu = \left(\frac{\partial G}{\partial N}\right)_{T,p}=\left(\frac{\partial U-T\partial S+p\partial V}{\partial N}\right)_{T,p}=\left(\frac{\tilde{\partial Q}-T\partial S}{\partial N}\right)_{T,p} \]

这个式子小于零?最好小于零。但是How?

b. 关于是否真的不收敛代表不能有平衡态,需要利用\(\text{$\delta $S}(\text{$\delta $N}, \text{or} \text{$\delta $F} \text{et} \text{al})\)等来证明。