我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第三节]

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我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第一节]
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第二节]
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第三节]
我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[小结]

前面我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第一节]和我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第二节]中，浪费了很多时间来求解Einstein方程。最后我们又提出了一个问题：如果存在\(\Lambda\)或者Dark energy呢？

首先，重新看一下准备知识。什么是开宇宙？什么是闭宇宙？我们很可能会觉得，代表宇宙膨胀的大小的scale factor\(a(t)\)如果一直变大，那么就应该表示开宇宙，如果scale factor后来变小，直到变回零。那么就是闭宇宙。
但是这里有个问题。表示时空的几何类型（球面、平直还是双曲）的\(k\)（只能去1,0.-1）和scale factor\(a(t)\)到底会不会回到零有什么关系？两者之间有确定的对应关系么？

我们看一下Friedmann方程等。
\begin{eqnarray}
3(\dot{a}^2+k)/a^2 &=& 8\pi \rho \\
2\ddot{a}/a+(\dot{a}^2+k)/a^2 &=& -8 \pi \rho
\end{eqnarray}

稍加化简，得到
\begin{equation}
\ddot a=-4/3 \pi a (\rho+3p).
\end{equation}
从这个方程可见，scale factor的演化是由\(\rho\)和\(p\)来决定的。这跟表示时空的几何类型的\(k\)没关系。

也就是说，如果我们依照我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第一节]中的定义方法，那么闭宇宙并不表示宇宙将来会collapse。

举一个简单的例子。
假定宇宙开始是个闭宇宙，即仅仅说明\(k=+1\)。宇宙开始时是Radiation domination，因此我们可以计算出scale factor的演化。
\begin{equation}
a^2(t)=2 B t-t^2
\end{equation}
其中 \(B\)为不含时常数。（我沿用了梁灿斌书中的记号。）
这样\(a(t)\)是一条开口向下的抛物线。如果宇宙中始终只有radiation的而一开始又是\(k=+1\)话，那么宇宙将会collapse。
但是，假定在某一个时刻，宇宙从radiation domination过渡到matter domination。这时候，scale factor的方程变为
\begin{equation}
a=A(1-\cos{\hat t})/2+C_1, \qquad t=A(\hat t-\sin{\hat t})/2
\end{equation}
这里的待定的系数是有边界条件（比如radiation matter equality时刻的值）来确定的。这里面的参量看起来挺奇怪，但是不管如何，\(t\)和\(\hat t\)是正相关的，在x很大的时候，基本上就可以看做是一条直线。现在我们可以暂时认为\(\hat t(t)\)可以用来表征时间。那么scale factor随着时间的向前推移，在合适的范围内，scale factor是个减函数。
到现在位置，如果只存在radiation和matter，而且一开始宇宙的时空几何是\(k=+1\)，那么宇宙将只会collapse。

下面我们就引入我们的另一员大将，Dark Energy。在collapse之前，如果有足够多的dark energy，然后宇宙转化为物态方程为w的dark energy主导，那么可以求解到下面的结果。
\begin{equation}
\dot{a}^2=C_2 a^{2-3(1+w)}+C_3.
\end{equation}
这样一来，scale factor的导数\(\dot a\)最终将会增加，从小于零逐渐变为零，然后如果此时宇宙还没有collapse，那么scale factor的导数\(\dot a\)将会变为正值，也就意味着宇宙将不再collapse，而是无穷无尽的变大，知道big rip（或者最近有篇文章讲的little rip模型，这是题外话）。

上面的论述证明了宇宙是可能从一开始的看似是要collapse演化到后来永远膨胀的。

我们一开始之所以没有去仔细讨论\(k\)和\(a\)的关系，是因为如果仅仅存在radiation和matter，那么\(k=+1\)就正好意味着宇宙将会collapse，不管宇宙中是radiation还是matter还是二者混合。\(k=-1\)也正好意味着宇宙一定是一直膨胀下去的。反之，只要取合适的状态方程和能量密度，开宇宙也可以演化为闭宇宙。

最后，其实按照一般的这种想法（\(a\)的行为才反映出宇宙的开和闭），我们在第一篇post中所用的开宇宙闭宇宙的定义不够好。所以最好还是按照scale factor的行为来定义，而\(k\)仅仅告诉了我们宇宙的几何类型（球面的，平直的，还是双曲的）。

至此为止，关于“我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？”这个讨论告一段路。如果将来没有很好的想法，这个系列文章到此结束。请继续阅读小结。

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我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[第一节]
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我们的宇宙可能由闭宇宙演化为开宇宙么？[小结]